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18/11/2017

Kurt Gödel: lógica, matemática y paranoia

En la imagen, Einstein y Gödel en Princeton (años 50)

Hablando en un post anterior de la muy antigua “paradoja del mentiroso”, se quedaron algunas cosas en el tintero al tiempo que despertaba mi curiosidad un personaje ligado a ello pese a pertenecer al S. XX: el matemático Kurt Gödel. Vamos a seguir tirando del hilo a ver hasta dónde nos lleva…

La llamada paradoja del mentiroso tiene múltiples variantes, probablemente la más simplificada es la que propuso Lewis Carroll (sí, el de “Alicia en el país de las maravillas”): “Yo estoy mintiendo.” Son afirmaciones donde habita el fenómeno llamado “bucle extraño”. Cualquier suposición inicial que se haga conduce a su propia refutación (muchas de las ilusiones ópticas del arte de M. C. Escher están basadas en este concepto).

El nudo central en la ciencia matemática se planteaba hacía tiempo en base a preguntas como: ¿Es posible encontrar contradicciones en las matemáticas? ¿Son consistentes? ¿Es demostrable cualquier proposición matemática?. Claro, dice uno, si no creemos en las infalibles matemáticas, ¿qué nos queda, Dios mío?.

El gran matemático alemán David Hilbert (1862-1943) se esforzó en demostrar que sí, que las matemáticas eran coherentes, consistentes, completas. En otras palabras, que allí no había lugar para la paradoja y que cualquier problema podía ser resuelto. Evitar la ambigüedad y fomentar la precisión: en este contexto se sitúa el Formalismo, movimiento en la Lógica y en las Matemáticas que impulsó Hilbert en los años 20. Hilbert inventó un lenguaje artificial de la lógica y comenzó a trasladar las afirmaciones de la teoría de números dentro de él. Su propósito era construir sistemas formales completos para las principales teorías de la matemática clásica, de modo que cualquier afirmación pudiera o bien ser demostrada, o bien ser demostrada su negación.

Pero poco después llegó Kurt Gödel, uno de los más grandes lógicos de todos los tiempos.

Gödel consiguió trasladar el lenguaje natural del mentiroso al lenguaje de las matemáticas. Es particularmente conocido por su llamado “Teorema de incompletitud” -publicado en 1931- donde afirmaba que lo que ansiaba Hilbert no podía ser. Que hay cuestiones que surgen dentro de un sistema matemático que el propio sistema es incapaz de resolver. Para ello compuso una proposición que no podía ser demostrada, algo así como decir “esta proposición es indemostrable” y demostró que era verdad. Esto no significó el fin del Formalismo, pero casi.

Gödel ocupa, junto a Bertrand Russell, la más alta posición del siglo XX en cuestiones como los fundamentos o la filosofía de las Matemáticas y es la figura más relevante que ha pasado por el Advanced Institute of Princeton, sólo superado en fama por Albert Einstein. Demos un paseo por su biografía.

Kurt Friedrich Gödel (1906-1978), lógico y matemático nació en Austria-Hungría (en la actualidad República Checa) y su primer interés académico fue la Lingüística. Ingresó en la Universidad de Viena en 1924 planeando estudiar Física Teórica, pero poco después su atención se volcó a las Matemáticas, uniéndose al que más tarde se conocería como Círculo de Viena, que a su vez fundó la escuela filosófica conocida como Positivismo lógico.

Gödel estuvo asociado con este grupo durante muchos años. La principal premisa del Círculo de Viena era que lo que no es verificable empíricamente no tiene sentido. La antítesis de esta filosofía es la especulación metafísica, ya que nada puede ser probado o refutado con algún grado de certidumbre dentro del sistema metafísico.

Gödel se fue interesando progresivamente en Teoría de Números y después en Lógica Matemática y en el estudio de problemas de Física y de Psicología. En 1930 se doctoró en Matemáticas con H. Hahn, notable matemático miembro del Círculo de Viena. A partir de aquí comienza a trabajar en sus más importantes teorías sobre la completitud de sistemas formales.

En un viaje de conferencias a Estados Unidos durante 1933 coincidió por primera vez con Albert Einstein. A raíz de la opresión nazi que se produjo en la antesala de la Segunda Guerra Mundial y especialmente tras el asesinato de Schlinck (fundador del Círculo de Viena), Godel tomó la determinación de irse de Europa, algo que efectivamente hizo tras su boda en 1938. El resto de su vida ya lo pasaría en Princeton, donde llegó a ser un gran amigo de Einstein, trabajaron juntos aspectos filosóficos y matemáticos de la Teoría General de la Relatividad, se ocupó de la cosmología relativista y encontró soluciones sorprendentes a las ecuaciones del campo gravitatorio de la relatividad general.

Hizo grandes contribuciones a la Teoría de conjuntos, al estudio del problema de la decisión, definió por primera vez las funciones recursivas y probó la consistencia de la lógica y aritmética clásica respecto de la intuicionista.

La fascinación de Gödel por el pensamiento puro le llevó a analizar lo que él consideraba la cuestión filosófica por excelencia: el tiempo. Su conclusión fue, como casi todo en él, extrema pero a la vez sólida. Para Gödel el tiempo -con las nociones implícitas de pasado y futuro- no existía. No había lugar para un universo estático ni para un universo en expansión, sino un universo en rotación en el que era posible viajar, lo que elimina la propia noción de pasado y futuro. Y si había un universo en el que esto era así (aunque no fuera el nuestro), el papel del tiempo se derruía, ya que dejaba de ser necesario en términos absolutos.

Sus descubrimientos socavaron los fundamentos de las matemáticas clásicas y provocaron un debate filosófico sobre la naturaleza de la verdad. La repercusión de sus trabajos ha sido formidable, porque afectan a todas las ramas de la lógica moderna. Sus innovaciones técnicas ayudaron al progreso de las ciencias de la computación.

Godel fue nombrado doctor honorario por la Universidad de Yale, por la de Harvard, miembro de la Academia Nacional de Ciencias, de la Sociedad Matemática de Londres y de la Sociedad Filosófica de América. En 1975 recibió la Medalla Nacional de las Ciencias.

Tras huir a Estados Unidos tuvo que pasar el examen oral de rigor para obtener la nueva ciudadanía. Gödel se dedicó a estudiar la Constitución norteamericana con su habitual seriedad y capacidad, y pasó lo que tenía que pasar: que encontró contradicciones. No sólo eso, demostró además que si se leía con suficiente atención, EEUU podía ser transformado legalmente en una dictadura.

A dicho examen le acompañaron sus amigos Oskar Morgenstern (brillante matemático de origen alemán, padre de la Teoría de Juegos) y el mismísimo Albert Einstein.

– “Hasta ahora, Vd. había sido ciudadano alemán”, comenzó el funcionario.
– “Austríaco, no alemán”, corrigió Gödel.
– “Bueno, muy bien, una dictadura siniestra, menos mal que eso no es posible en América”, dijo el funcionario
– “¡Al contrario!”, volvió a corregir Gödel. “¡Yo puedo demostrarle que sí!!” y comenzó a explicarle el mecanismo que había descubierto.

Entre Einstein y Morgenstern consiguieron calmarlo y así pudo Gödel jurar su nueva nacionalidad. Por cierto, aún es un misterio qué fue lo que Gödel había descubierto al respecto.

La vida de Gödel fue una guerra continuada contra su salud física y mental. Choca constatar que un hombre de mente privilegiada fuese víctima de serios problemas mentales, pero desde luego no es la primera vez ni la última que esto ocurre. Lo cierto es que sufrió depresiones nerviosas, hipocondría e inestabilidad emocional. Su psiquiatra llegó a decir que su pensamiento era paranoico, con ideas fijas sobre su enfermedad.

Consumía todo tipo de medicamentos que él mismo se administraba (tenía aversión por los médicos). Era tan enfermiza su obsesión por la alimentación y la salud que siempre estaba sometiendo a examen todo aquello que ingería, cuando lo único que consiguió fue caer en la desnutrición. De hecho, al final de su vida estaba convencido de que le querían envenenar -incluso los médicos- y se negó a aceptar tratamiento y comida. Murió en 1978, oficialmente de “hambre e inanición causadas por una perturbación de la personalidad”.

Más información en estas fuentes:

Fuente 1
Fuente 2
Fuente 3
Fuente 4

9 thoughts on “Kurt Gödel: lógica, matemática y paranoia

  • Juanjo Der

    Es cierto que todo genio tiene el sistema nervioso mas delicado, y que muchos caen en crisis mentales a veces crónicas, pero hay que ver que estos genios están rodeados de mucha presión, no solo por parte de sus circulo académico, si no de los grupo de poder que manejan el conocimiento, casi siempre veo el común denominador de que subrepticiamente se ve como presiones de estado afectan el pensamiento delicado de esto genios, sobretodo después de dejar sus mas grandes pensamientos, creo que una gran parte de su locura en estos genios es alimentada por estas presiones de alta dirigencia, una visión de que una vez que dejan grandes conocimientos pueden volverse dañinos al propio sistema y por eso hay que tacharlos o enmarrocarlos al propio estado, se ve esto en Tesla, en Nash, en Ramanujan etc …

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  • angel

    me parece q deberianser mas especificos cuando intentamso buscara cerca d elalogica matematica y albert einstein

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  • Natalia Beller

    DEJEN EL ESOTERISMO. LEAN ESTO.

    En la novela de H.G. Wells, La Máquina del Tiempo, nuestro protagonista se metió en una silla especial con luces intermitentes, le dio vuelta a algunos diales, y se encontró catapultado varios cientos de miles de años en el futuro, donde Inglaterra ha desaparecido hace mucho tiempo y está ahora habitado por extrañas criaturas extrañas llamadas Morlocks y Eloi.

    Eso puede haber hecho gran ficción, pero los físicos siempre se han mofado de la idea de viaje en el tiempo, considerándolo ser un reino de extravagancias, místicas, y charlatanes, y con buena razón.

    Sin embargo, adelantos bastante notables en la gravedad quántum están reavivando la teoría; se ha vuelto ahora un justo juego para físicos teóricos que escriben en las páginas de la revista Physical Review magazine. Un obstinado problema con el viaje en el tiempo es que está enredado con varios tipos de paradojas. Por ejemplo, está la paradoja del hombre, sin padres, es decir, ¿que pasa cuándo usted regresa en el tiempo y mata a sus padres antes de que usted nazca? Pregunta: Si sus padres murieran antes de que usted naciera, entonces ¿cómo podría usted haber nacido para matarlos, en primer lugar?

    También está la paradoja del hombre sin pasado. Por ejemplo, digamos que un joven inventor está intentando inútilmente construir una máquina del tiempo en su garaje. De repente, un hombre mayor aparece de la nada y le da al joven el secreto de construir una máquina del tiempo. El joven hombre se vuelve, entonces, enormemente rico jugando en la bolsa de valores, carreras, y eventos deportivos, porque conoce el futuro. Entonces, ya como hombre viejo, decide hacer su último viaje hacia atrás, al pasado, y darle el secreto del viaje en el tiempo a su joven yo. La pregunta: ¿de donde vino la idea de la máquina del tiempo?

    También está la paradoja del hombre a quien su propia madre, (mis disculpas a Heinlein.) “Jane” es dejada en un orfanato como un expósito. Cuando “Jane” es una adolescente, ella se enamora de un vago que la abandona pero la deja embarazada. Entonces golpea el desastre. Ella casi muere dando a luz a una bebé, que es, entonces, secuestrada misteriosamente. Los doctores encuentran que Jane está sangrando mucho, pero, extrañamente, tiene ambos órganos sexuales. Así es que, para salvar su vida, los doctores convierten a “Jane” en “Jim”.

    “Jim”, como consecuencia, se vuelve un vociferante borracho, hasta que conoce a un amistoso camarero (realmente un viajero en el tiempo disfrazado) quien lleva a “Jim” muy atrás al pasado. “Jim” conoce una bella adolescente, accidentalmente la embaraza con una bebé niña y sin sentir culpa alguna, la va a tirar al orfanato. Mas tarde, “Jim” se une al cuerpo de viajeros en el tiempo, lleva una vida distinguida, y tiene un último sueño: disfrazarse de camarero para conocer a cierto borracho llamado “Jim” en el pasado.

    Pregunta: ¿quién es la madre, el padre, el hermano, la hermana, el abuelo, la abuela, y el nieto de “Jane”?

    No es sorprendente que el viaje en el tiempo haya sido siempre considerado imposible. Después de todo, Newton creyó que tiempo era como una flecha; una vez disparada, vuela en línea recta, sin desviarse. Un segundo en la tierra era un segundo en Marte. Los relojes se esparcieron a lo largo del ritmo del universo a la misma proporción. Einstein nos dio un cuadro mucho más radical. Según Einstein, el tiempo era más como un río que serpentea alrededor de las estrellas y galaxias, acelerando y reduciendo la velocidad al pasar alrededor de cuerpos macizos. Un segundo en la tierra NO era un segundo en Marte. Los relojes se esparcieron a lo largo del ritmo del universo hacia su propio tambor distante.

    Sin embargo, antes de morir Einstein, él se enfrentó con un embarazoso problema. ¡El vecino de Einstein en Princeton, Kurt Goedel, quizás el mayor lógico matemático de los últimos 500 años, encontró una nueva solución a las propias ecuaciones de Einstein que permitieron el viaje en el tiempo! El “el río del tiempo” ahora tenía vórtices, en los cuales el tiempo podría envolverse en un círculo. La solución de Goedel era bastante ingeniosa: postuló un universo lleno de un fluido rotante. Cualquiera caminando a lo largo de la dirección de rotación se encontrarían de nuevo en el punto de partida, ¡pero hacia atrás en el tiempo!

    En sus memorias, Einstein escribió que estaba perturbado que sus ecuaciones contenían soluciones que permitían el viaje en el tiempo. Pero él finalmente concluyó: el universo no rota, él se ex-pande (es decir, como en la teoría del Big Bang) y la solución de Goedel podría botarse por “razones físicas.” (Aparentemente, si el Big Bang estuviera rotando, entonces… ¡sería posible el viaje en el tiempo a lo largo del universo!)

    Luego, en 1963, Roy Kerr, un matemático de Nueva Zelanda, encontró una solución a las ecuaciones de Einstein para un agujero negro rotante que tenía propiedades bizarras. El agujero negro no colapsaría en un punto (como previamente se pensaba) sino en un anillo que da vueltas (de neutrones). El anillo estaría circulando tan rápidamente que la fuerza centrífuga impediría que colapsara el anillo bajo la gravedad. El anillo, a su vez, actúa como el Lente para ver de Alicia en el País de las Maravillas.

    Cualquiera atravesando el anillo no se moriría, sino que podría atravesar el anillo hacia un universo alterno. Desde entonces, cientos de otras soluciones de “agujeros de gusano” han sido encontradas, a las ecuaciones de Einstein. Estos agujeros de lombriz no sólo conectan dos regiones del espacio, (de aquí el nombre) pero a la vez, también dos regiones de tiempo. En principio, pueden ser usados como máquinas del tiempo.

    Recientemente, intentos de agregar la teoría quantum a la gravedad (y de allí crear una “teoría del todo”) nos ha dado alguna visión al problema de la paradoja. En la teoría quantum, nosotros podemos tener múltiples estados de cualquier objeto. Por ejemplo, un electrón puede existir simultáneamente en diferentes órbitas (un hecho que es responsable para darnos las leyes de la química). Semejante al famoso gato de Schrodinger que puede existir simultáneamente en dos posibles estados: muerto y vivo.

    Así, remontándonos en el tiempo y alterando el pasado, creamos meramente un universo paralelo. Así pues, cambiamos el pasado de ALGUIEN MÁS, digamos, salvando a Abraham Lincoln de ser asesinado en el Teatro Ford, pero nuestro Lincoln estaría todavía muerto. De esta manera, el río del tiempo se bifurca en dos ríos separados. Pero significa esto que nosotros podríamos ser capaces de saltar en la máquina de H.G. Wells, darle vuelta a un dial, y remontarnos varios cientos de miles de años hacia el futuro de Inglaterra? No. Hay un número de barreras difíciles que superar.

    Primero, el principal problema es de energía. Del mismo modo que un automóvil necesita gasolina, una máquina del tiempo necesita tener fabulosas cantidades de energía. Uno puede, o atrapar el poder de una estrella, o encontrar algo llamado materia “exótica” (que se cae hacia arriba, en vez de hacia abajo), o encuentra una fuente de energía negativa.

    (Los físicos alguna vez pensaron que la energía negativa era imposible. Pero diminutas cantidades de energía negativa han sido experimentalmente verificadas para algo llamado efecto Casimir, es decir la energía creada por dos placas paralelas).

    ¡Todo esto es sumamente difícil de obtener en grandes cantidades, por lo menos durante varios siglos más!

    Luego está el problema de estabilidad. Por ejemplo, el agujero negro Kerr puede ser inestable si uno cae a través de el. Similarmente, los efectos quantum pueden construir y destruir el agujero de gusano antes de que se pueda entrar en él. Desafortunadamente, nuestras matemáticas no son lo suficientemente poderosas para contestar la pregunta de estabilidad, porque se necesita una “teoría del todo” que combina fuerzas quantum y gravedad.

    En la actualidad, la teoría de Super Cuerdas es la candidata principal para tal teoría (de hecho, es la ÚNICA candidata; realmente no tiene absolutamente ningún rival). Pero teoría de la super cuerda que es mi especialidad, es todavía difícil de resolver completamente. La teoría está bien-definida, pero nadie en la tierra es lo suficientemente listo para resolverlo.

    Es interesante que Stephen Hawking alguna vez se opuso a la idea del viaje en el tiempo. Él, incluso afirmó que él tenía evidencia “empírica” en contra de él. Si el viaje en el tiempo existiera, dijo, entonces nosotros habríamos sido visitados por turistas del futuro. Puesto que no vemos a ningún turista del futuro, entonces: el viaje en el tiempo no es posible. Debido a la enorme cantidad de trabajo hecha por los físicos teóricos en los últimos 5 años o así, Hawking ha cambiado de parecer, y ahora cree que el viaje en el tiempo es posible (aunque no necesariamente práctico).

    (Además, quizás nosotros simplemente no somos muy interesantes para estos turistas del futuro. Cualquiera que pueda atrapar el poder de una estrella consideraría que somos muy primitivos. Imagine a sus amigos atravesando una colina de hormigas. ¿Ellos se agacharían donde las hormigas para darles bebidas, libros, medicina o poder? O algunos de sus amigos tendrían la extraña urgencia de pararse en algunas de ellas?)

    En conclusión, no rechace a alguien que golpee a su puerta un día y exija ser su futuro tatara- tatara nieto.

    Puede tener razón…

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  • KANTROP

    Uno lee pasmado cosas muy contradictorias como insostenibles. Por alli, Yourgrau afirma que Goedel contradijo a Einstein y su teoria de la relatividad y que en sus conjeturas matematicas concluyo que el tiempo no existe (!). Goedel fue el matematico que llevo a ese lenguaje todo el pensamiento de Einstein para fundamentarlo; o para refutarlo?? No tiene sentido. Baste leer los escritos de Einstein y sus teorias y es facil ver que penso el sabio sobre el tiempo: con una entidad genial sostuvo que puede viajarse al pasado y al futuro -eso no es tiempo? que es entonces?- y uno se colmata con Hawking que completa maravillosamente a Einstein y profundiza sus descubrimientos ahora comprobados por el Hubble ,etc. Acaso tiene sentido referir al Goedel y sus enriedos matematicos para contradecir la Fisica? Se sabe que la matematica es siempre una ciencia “ideal”, instrumental y su desarrollo demuestra siempre su incompletud, y que en ella existen y existieron paradojas, enigmas, etc. Ella no podria ser el juez de todas las ciencias porque se sabe que no todo puede formalizarse y muchas veces se formaliza mal. No tiene sentido recurrir a Goedel para las teorias de Einstein y despues decir que aquel en vez de fundamentarlas, las contradijo. Las opiniones de Palle Yourgrau aparecen como pobres apreciaciones sobre la Fisica teorica y tendenciosamente autodestructivas, como una “suma cero” entre Einstein y Goedel. Es poco serio sostener eso. Lo que creo es que Yourgrau no comprende a ninguno de los dos, o quiza busca publicidad con una autoanulacion. El mundo sin tiempo es imposible con o sin matematicas. Tampoco es licito apoyarse en palabras sueltas de Kant para lo mismo !!!
    Las discusiones de la Fisica tienen su propio ambito y son muy diferentes a las de la Filosofia -maxime del idealismo trascendental- y una mezcla resulta atroz. El mundo de las matematicas, enten ideales creados por el hombre, no trascienden a la realidad vislumbrada por aquella ciencia de la Fisica.

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